| Vaak komen er in een enquête voor dat je vragen hebt waarbij je enkel in categorieën kan antwoorden. Bijvoorbeeld: man/vrouw of ja/nee maar ook bus/auto/trein/tram. Hier kan je alleen aangeven welk percentage bijvoorbeeld ja of nee heeft geantwoord. Dit gedeelte noemen we de fractie. Om kansen te kunnen berekenen hebben we de binominale verdeling nodig. Als een experiment aan de volgende voorwaarde voldoet, mogen we het binominaal noemen:
1. Het experiment bestaat uit n onderling onafhankelijke deelexperimenten
2. Ieder deelexperiment heeft twee mogelijke uitkomsten: succes met kans µ en mislukking met kans 1-µ
De kansvariabele wordt als volgt genoteerd: A~Bin(n, )
De formule voor de binominale verdeling is als volgt:
Let op dat  de notitie is voor ncr en niet gedeeld door. Ncr berekent hoeveel verschillende combinaties er mogelijk zijn.
Stel dat 30% van de studenten rookt en dus 70% niet rookt. Wat is dan de kans dat we in een collegezaal van 30 studenten er 7 roken.
Deze opgave pakken we als volgt aan:
A: aantal rokers
A~Bin(n=30, =0,3)
Soms is het erg veel werk als we bijvoorbeeld moeten uitrekenen wanneer er minstens 10 roken of hoogstens 5 roken. In dit geval is het makkelijker om de tabel te gebruiken van cumulatieve kansen. Deze is te vinden bij de tabellen op de website.
We nemen hetzelfde voorbeeld als net, alleen zijn er 2 andere vragen:
- Wat is de kans dat van de 10 studenten er minstens 5 roken?
- Wat is de kans dat van de 10 studenten er hoogstens 6 roken?
1 A: aantal rokers
A~Bin(n=10, =0,3)
P(A≥5)= 1 – P(A≤4)= 1 – 0,85 = 0,15
Het getal 0,85 kan je opzoeken in de tabellen bij n=10 en µ=0,3.
De reden dat ik de kans vertaal naar 1 – kleiner of gelijk aan 4, is omdat het tabel cumulatief is. Ik moet dus vanaf 0 rekenen. Ik kan dus wel direct A≤k maar niet A≥k opzoeken in het tabel.
2 A: aantal rokers
A~Bin(n=10,= =0,3)
P(A≤6)= 0,989
Verwachtingswaarde en standaarddeviatie van de binominale verdeling.
We kunnen een verwachtingswaarde of gemiddelde uitkomst en standaarddeviatie uitrekenen van de binominale verdeling:
De verwachtingswaarde 
De standaarddeviatie 
Als de binominale verdeling een grote n heeft, lijkt deze steeds meer op de normale verdeling. In sommige gevallen mogen we de binominale verdeling benaderen met de normale verdeling. Dit is bij de volgende vuistregels:
Als n≥20 en  en als 
In dit geval geldt:
X~Nor( ,  )
Let op: de binominale verdeling is discreet, dus heeft alleen gehele waarden, terwijl de normale verdeling continu is. Dit kan opgelost worden met de continuïteitscorrectie:
Stel dat wordt gevraagd wanneer P(A>10) is. Als we deze normaal verdeeld benaderen dan moeten we berekenen: P(X>5,5). |
