De normale verdeling staat bekend om zijn klokvorm die te zien is in tabel 1. De ontdekking hiervan komt uit het leger. Een onderzoeker verzamelde gegevens over de borstafmeting van Schotse soldaten en de lengte van Franse soldaten. Hij ondervond dat er veel soldaten rond het gemiddelde zaten en naarmate je verder van het gemiddelde ging er steeds minder soldaten deze lengte of breedte hadden.
Deze normale verdeling vindt je in veel meer verschijnselen dan alleen lengte en breedte. Ook vindt je dit bij bijvoorbeeld machinaal vervaardigde producten en cijfers van studenten. Tabel 2 zijn de resultaten van mijn laatste tentamen. Zoals je kunt zien wijkt dit tabel niet veel af van tabel 1.

tabel 1: normale verdeling

tabel 2: tentamen cijfers

In dit stuk wordt µ( populatie gemiddelde) en σ ( populatie standaard afwijking) nog bekend beschouwd. Natuurlijk is het logischer dat je bij onderzoek een steekproef gemiddelde en standaard afwijking hebt en daarmee uitspraak doet over het µ en ∂.

De standaard normale verdeling Z is de normale verdeling met µ=0 en ∂=1.
Deze kunnen we gebruiken als we de meetwaarde x standaardiseren met behulp van de volgende formule:

Als dit is gedaan kunnen we de kansen bepalen voor iedere normale verdeling. Bij de standaard normale verdeling Z horen een aantal regels:

1. De grafiek is symmetrisch t.o.v. 0
2. Modus=mediaan=gemiddelde=0
3. Standaard afwijking=1
4. De totale oppervlakte =1
5. Je kan alleen kans bepalen vanuit het punt 0

De kansverdeling is te vinden bij tabellen.

Laten we maar een oefening doen met de Z-waarde

Een zak chips beweert 150 gram chips te bevatten. De inhoud van de verpakkingen is normaal verdeeld met een gemiddelde van 151,8 en een standaard afwijking van 0,7.
We kunnen nu berekenen hoeveel procent van de zakjes onder het gewicht van 150 gram ligt.

We doen de volgende stappen:

1. Definiëren van de kansvariabele
2. Bijbehorende verdeling geven
3. Tekenen
4. Standaardiseren
5. Geef de kans

1 Definiëren van de kansvariabele
X= inhoud verpakking in grammen

2 Bijbehorende verdeling geven
X~Nor(µ=151,8;σ=0,7)

In het Nederlands: X is bij benadering normaal verdeeld met een populatie gemiddelde van 151 en een populatie standaard afwijking van 0,7

3 Tekenen

 4 Standaardiseren
Hiervoor gebruiken we de formule eerder gegeven.

5 Waarde opzoeken
De z-waarde van -2,57, moet nu opgezocht worden in het tabel van normale verdeling. Aangezien we geen negatieve getallen kunnen vinden, kunnen we gewoon het positieve getal opzoeken. De normale verdeling is immers symmetrisch. In de linker kolom vindt je het eerste getal en de eerste decimaal. In de bovenste rij vindt je de tweede decimaal. We vinden dan in het tabel het getal:0,4949

6 Geef de kans
Het getal -2,57 is dus het getal 150 in de standaard normale verdeling. Het getal 0,4949 is de oppervlakte van 0 tot -2,57. Maar we willen alles onder de -2,57 weten. Aangezien het tabel symmetrisch is en het totale tabel 1 is, weten we dus dat het midden ( 0 ) tot helemaal links van het tabel gelijk is aan 0,5. We kunnen de gevraagde oppervlakte berekenen door:

We schrijven het als volgt op:

P(X<150)=P(Z<-2,57)=0,5-0,4949=0,0051

In het nederlands: de kans dat X kleiner is dan 150 = de kans dat de z-waarde kleiner is dan de z-waarde -2,57 = 0,0051